Her er et lille papir mysterium, der vil køre dine matematisk tilbøjelige venner - og muligvis din geometri lærer - helt bonkers. Ved hjælp af et simpelt visuelt hjælpemiddel kan du bevise, at en trekant, du har lavet af kortbeholdning - lige foran deres øjne, hvis du vil - er større på den ene side end den er på den anden. Jeg lærte denne lille underligdom mange måneder siden fra hr. Martin Gardner, der skrev kolonnen "Mathematical Games" til Scientific American magazine i 25 år og kom jævnligt op med fascinerende og sindende bøjende nysgerrighed.

forsyninger:

Trin 1: Udskriv og skær trekanten

Alt du behøver er et 8 1/2 by 11 tommer kortlag af andet ret stivt papir, et par saks og grafgitteret med trekant i figur 1. Kopier og gem grafgrafen til din computer, åbn den i grafikprogram efter eget valg, og udskrevet det på dit kortlager, og vælg "Tilpas til ledigt rum", inden du udskriver det.

Når du har udskrevet det, vil du bemærke, at du har en Isosceles-trekant - en trekant med to lige lange kanter. Trianglen er trykt på et kvadratfelt, der er 10 firkanter bredt med 12 firkanter høje, hvilket betyder at det rektangulære gitter har et areal på 120 firkanter. Hvis du husker din geometri, vil du vide, at en Isosceles-trekant konstrueret i et 10 til 12 gitter på 120 kvadrater vil have et areal svarende til præcis halvdelen af ​​arealet af det rektangulære gitter, hvorfra det blev konstrueret, det vil sige en område på 60 kvadrater i dette tilfælde. Hvis du ikke kan huske, får du mulighed for at bevise det på dig selv om få sekunder.

Skær det rektangulære gitter fra dit papir så forsigtigt, så skær trianglen fra det rektangulære gitter langs de sorte linjer. Nu kan du demonstrere for dig selv (eller dit publikum), at den resulterende trekant er nøjagtigt halvdelen af ​​det oprindelige rektangels område ved at tage de to venstre højre trekanter og arrangere dem oven på din Isosceles-trekant for at vise, at de præcis dækker Isosceles-trekanten - Isosceles-trekanten har et areal på 60 kvadrater, og de to rigtige trekanter, du skærer væk, har hver et område på 30 firkanter. Efter denne demonstration bare smide de to venstre højre trekanter. Skær nu Isosceles-trekanten omhyggeligt i seks stykker langs de røde linjer. Dine seks stykker, genmonteret, vil se ud som dem i figur 2.

Trin 2: Saml trianglen med bagsiden opad

Vend de seks stykker op og ned og arranger dem som vist i figur 3 tilbage i en Isosceles-trekant. Du vil bemærke, at når du sætter trekanten sammen igen, er stykkerne ikke i samme positioner som de oprindeligt var … men de udgør stadig Isosceles-trekanten. Hvis du demonstrerer dette til nogen, og de ikke bemærker det, er der ingen grund til at påpege det. Hvis de bemærker det, skal du blot forklare det som jeg lige gjorde - stykkerne udgør stadig Isosceles-trekanten. Men her er hvor det bliver underligt. Som du kan se, har du nu et to firkantet hul i din trekant. Dette betyder, at enten (a) bagsiden af ​​din trekant er to firkanter større end forsiden eller (b) dit papir er to firkanter mindre på bagsiden, end det er på forsiden!

Trin 3: Arranger de trekantstykker i et rektangel

Men du er ikke færdig endnu. Nu drejes en af ​​de enkelte figurer tilbage, så gittersiden er op og arrangerer dem som vist på figur 4. Som du kan se, danner de et dejligt rektangel, men det mangler fire firkanter. Der er også to måder at fortolke dette fænomen på. For det første kan du udlede, at dit papir er krympet igen, da du nu mangler fire firkanter. En vis klog kan dog se på det rektangel, du har konstrueret, og bemærke, at det er syv firkanter med ni firkanter, for et samlet areal på 63 firkanter. Men da der klart mangler fire firkanter, betyder det at området for dine trekantstykker nu faktisk er 59 firkanter … og det betyder at du kun har mistet en firkant. Du kan forklare dette ved at fortælle dit publikum, at det giver perfekt mening: hvis bagsiden af ​​din trekant var to firkanter mindre end forsiden, og nu bruger du halvdelen af ​​stykkerne fremad og halvdelen af ​​dem vender tilbage, står det kun at du kun vil miste halvdelen så meget som du gjorde, da de alle vendte tilbage. Hvis du demonstrerer dette til din geometri lærer, er dette det punkt, hvor han eller hun kan løbe tør for rummet, der skriger!

Det er meget sjovt at rote med, og alt hvad du behøver, er din fantasi at komme op på måder at præsentere dette eller historierne for at fortælle, som du demonstrerer det. Og her kommer unicornen ind: for eksempel - og især hvis du demonstrerer dette til et yngre publikum - kan du måske fortælle dem, at det siges at hvis du laver en trekant stor nok, så når du samler stykkerne baglæns, vind du op med et stort nok hul i midten af ​​trekanten kommer en enhjørning at løbe gennem hullet. Jeg kan ikke personligt vidne om dette kravs troværdighed, da jeg aldrig har forsøgt at konstruere en umulig trekant, der er stor nok til at tiltrække en enheds opmærksomhed. Du kan lige så nemt lave en stor version ud af plakatbrættet og lave en lille præsentation for en geometri eller science class … eller bare være tilfreds med at køre alle, du kender skør! Jeg vil ikke forsøge at forklare hvorfor eller hvordan det virker - en del af det sjove er mysteriet. Bare ved at der absolut ikke er nogen hånd involveret; Rutenettet er lige det - perfekt firkantet; der er ingen fancy eller bedragerisk skæring af stykkerne; Skær dem så omhyggeligt og præcist som muligt. Lad mig vide, hvor mange mennesker du kører bananer med denne lille nysgerrighed, og hvis du finder denne vejledende spændende, vil jeg virkelig sætte pris på din stemme. Tak, og …

Fred, Radical Geezer